리만 기하학

3. 2. 1. 단면 곡률의 범위에 따른 정리

• '''구면 정리.''' 만약 ''M''이 단일 연결된 콤팩트 ''n''차원 리만 다양체이고 단면 곡률이 1/4과 1 사이에서 엄격하게 조여져 있다면, ''M''은 구와 미분 동형이다.
• '''치거의 유한성 정리.''' 상수 ''C'', ''D'' 및 ''V''가 주어지면, 단면 곡률 |''K''| ≤ ''C'', 지름 ≤ ''D'' 및 부피 ≥ ''V''를 갖는 콤팩트 ''n''차원 리만 다양체는 미분 동형까지 유한 개만 존재한다.
• '''그로모프의 거의 평탄한 다양체.''' ε_''n'' > 0이 존재하여, ''n''차원 리만 다양체가 단면 곡률 |''K''| ≤ ε_''n'' 및 지름 ≤ 1을 갖는 리만 계량을 가지면, 유한 피복 공간은 닐 다양체와 미분 동형이다.

3. 2. 2. 단면 곡률 하한에 따른 정리

• '''치거-그로몰의 소울 정리''': ''M''이 비콤팩트 완전 비음(非陰)의 곡률을 가진 ''n''차원 리만 다양체라면, ''M''은 콤팩트하고, 완전 측지적인 부분 다양체 ''S''를 포함하며, ''M''은 ''S''의 법선 다발과 미분 동형이다(''S''는 ''M''의 '''소울'''이라고 불린다). 특히, 만약 ''M''이 모든 곳에서 엄격하게 양의 곡률을 가진다면, 이는 '''R'''^''n''과 미분 동형이다. 그리고리 페렐만은 1994년에 소울 추측에 대한 놀랍도록 우아하고 짧은 증명을 제시했다. ''M''은 단 한 점에서 양의 곡률을 가지면 '''R'''^''n''과 미분 동형이다.
• '''그로모프의 베티 수 정리''': 상수 ''C'' = ''C''(''n'')가 존재하여, 만약 ''M''이 양의 단면 곡률을 가진 콤팩트 연결 ''n''차원 리만 다양체라면 그 베티 수의 합은 최대 ''C''이다.
• '''그로브-피터슨의 유한성 정리''': 상수 ''C'', ''D''와 ''V''가 주어지면, 단면 곡률 ''K'' ≥ ''C'', 지름 ≤ ''D'' 및 부피 ≥ ''V''를 갖는 콤팩트 ''n''차원 리만 다양체의 호모토피 유형은 유한하게 존재한다.

3. 2. 3. 단면 곡률 상한에 따른 정리

• '''카르탕-아다마르 정리''': 비양의 단면 곡률을 갖는 완비 단일 연결 리만 다양체 ''M''은 임의의 점에서 지수 사상을 통해 ''n'' = dim ''M''인 유클리드 공간 '''R'''^''n''와 미분 동형이다. 이것은 비양의 단면 곡률을 갖는 단일 연결 완비 리만 다양체의 임의의 두 점이 유일한 측지선에 의해 연결된다는 것을 함축한다.
• 음의 단면 곡률을 갖는 임의의 콤팩트 리만 다양체의 측지 흐름은 에르고딕이다.
• 만약 ''M''이 단면 곡률이 엄격한 음의 상수 ''k''로 위로 제한된 완비 리만 다양체라면, 그것은 CAT(''k'') 공간이다. 결과적으로, 그 기본군 Γ = π₁(''M'')은 그로모프 쌍곡이다. 이것은 기본군의 구조에 대해 많은 함의를 가진다:
• 그것은 유한 표시이다.
• Γ에 대한 단어 문제는 긍정적인 해를 갖는다.
• 군 Γ는 유한 가상 코호몰로지 차원을 갖는다.
• 그것은 유한 위수 원소의 유한한 켤레류만을 포함한다.
• Γ의 아벨 부분군은 가상 순환이므로, '''Z'''×'''Z'''에 동형인 부분군을 포함하지 않는다.

3. 2. 4. 리치 곡률 하한에 따른 정리

• '''마이어스 정리''': 완비 리만 다양체가 양의 리치 곡률을 가지면, 그 기본군은 유한하다.^[1]
• '''보흐너 공식''': 콤팩트한 리만 ''n''-다양체가 음이 아닌 리치 곡률을 가지면, 그 첫 번째 베티 수는 ''n'' 이하이며, 리만 다양체가 평탄한 원환면인 경우에만 등식이 성립한다.^[1]
• '''분할 정리''': 완비 ''n''-차원 리만 다양체가 음이 아닌 리치 곡률을 가지고, 직선 (즉, 각 구간에서 거리를 최소화하는 측지선)을 가지면, 이는 실선과 음이 아닌 리치 곡률을 가진 완비 (''n''-1)-차원 리만 다양체의 직접 곱과 등거리 사상이다.^[1]
• '''비숍-그로모프 부등식''': 양의 리치 곡률을 가진 완비 ''n''-차원 리만 다양체의 반지름 ''r''의 메트릭 공의 부피는 유클리드 공간에서 동일한 반지름 ''r''의 공의 부피보다 작거나 같다.^[1]
• '''그로모프의 콤팩트성 정리''': 양의 리치 곡률과 지름이 ''D'' 이하인 모든 리만 다양체의 집합은 그로모프-하우스도르프 거리에서 전콤팩트이다.^[1]

3. 2. 5. 리치 곡률 부호에 따른 정리